В Костромском районе начал работать с марта 1970 года пройдя трудовой путь от зоотехника до председателя крупного колхоза. В 1985 году избран на должность председателя исполкома Костромского районного Совета народных депутатов, а с 1991 по 1994 год он глава администрации Костромского района.

С 1994 года Бычков А.И. избирается жителями Костромского района депутатом Костромской областной Думы, четыре созыва из пяти является ее председателем. В 1996-2000 годах Бычков А.И. представлял Костромскую область в Совете Федерации Федерального Собрания России.

Награжден орденом Дружбы, медалью «ЗА преобразование Нечерноземья РСФСР», знаком отличия «Парламент России», Почетными грамотами Государственной Думы и Совета Федерации, орденом Костромской области «Труд. Доблесть. Честь».